Aralarında Asal Sayılar

Güncelleme 21/05/2024

Asal sayılar  yazımızı incelediyseniz Aralarında Asal Sayılar konusuna başlayabilirsiniz .

“Aralarında asal” terimi, iki veya daha fazla sayının birbirleriyle ortak bölenleri olmadığını ifade eder. İki sayı arasında asal olması, bu sayıların sadece 1 ve kendisi olmak üzere hiçbir başka ortak bölenleri olmadığı anlamına gelir. 1 sayısı hariç herhangi bir ortak çarpanı (böleni) olmayan sayılara, ‘aralarında asal sayılar’ denir. İki sayının aralarında asal sayılması için bunların asal olmasına gerek yoktur.

Kısaca : a ve b birer tam sayı (sıfır hariç) olmak üzere, eğer a ve b nin 1’den başka ortak böleni yoksa (yani a ve b nin EBOB’u 1 ise) a ve b sayıları aralarında asaldır. Örneğin 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır, çünkü 1’den başka ortak bölenleri yoktur.

Örnek

• 28 ve 15 sayıları aralarında asal sayılardır. Fakat bunların ikisi de asal değildir.
• 15’in bölenleri şöyledir: 15, 5, 3 ve 1.
• 28’in bölenleri ise şunlardır: 28, 14, 7, 4, 2, 1.
• Görüldüğü gibi 28’in ve 15’in tek bir ortak böleni vardır. O da 1 sayısıdır. Bu yüzden 15 ile 28 aralarında asal sayı olmaktadır.

Tabii ki sadece iki değil, daha çok sayı için de yine aralarında asal olma durumu bulunabilir.

Örneğin; 45, 18 ve 10 sayıları için de yukarıdaki gibi benzer işlemleri yapabiliriz. Bu 3 sayının aralarında asal olma durumuna bakalım:

• Sayıların hiçbiri asal değildir.
• 10’un bölenleri şu şekildedir: 10, 5, 2, 1.
• 18’in bölenlerini şöyle sıralayabiliriz: 9, 6, 3, 2, 18, 1.
• 45’in bölenleri de şunlardan oluşur: 1, 5, 3, 15, 9, 45.
• Görüldüğü üzere 3 sayının da yalnızca 1 sayısı ortak bölenidir. Bunun dışında ortak bölene sahip değildirler.
• Bunlar 2’şerli olarak aralarında asal olmadıkları halde 3’ü beraber aralarında asal sayılardır.

Aralarında asal sayılar, belirli bir sayıyla hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır. İşte verdiğiniz örnekler üzerinden aralarında asal olan sayılar:

• 20 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 ve 19 gibi sayılar 20 ile aralarında asal sayılardır. Çünkü bu sayılar 20’nin hiçbir pozitif böleni değillerdir.
• Aralarında asal olan sayılar: Herhangi iki sayı için, eğer en büyük ortak bölenleri 1 ise, bu sayılar aralarında asal sayılardır. Örneğin, 8 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır.
• Aralarında asal sayılar örnek: Örneğin, 4 ve 7 sayıları aralarında asal sayılardır, çünkü ortak bölenleri yoktur.
• 1 ile aralarında asal olan sayılar: 1, herhangi bir sayıyla aralarında asal olacaktır. Çünkü her sayının 1 ile tam bölünebilir olması nedeniyle 1’in hiçbir ortak böleni yoktur.
• 12 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11 gibi sayılar 12 ile aralarında asal sayılardır.
• 15 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 gibi sayılar 15 ile aralarında asal sayılardır.

Yukarıda verilen örneklerde, belirli bir sayıyla aralarında asal olan sayılar listelenmiştir. Bu sayılar, ilgili sayı ile hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır.

20 ile aralarında asal olan sayılar örneği şu şekildedir:

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 20 ile aralarında asal sayılardır.

Aralarında asal olan sayılar genel olarak belirttiğiniz sayılarla ilgili olarak şu şekildedir:

0 ile aralarında asal olan sayılar: 0, asal bir sayı değildir. Dolayısıyla, 0’nın herhangi bir sayıyla ortak böleni vardır.

1 ile aralarında asal olan sayılar: Tüm sayılar 1 ile aralarında asal sayılır. Çünkü 1’in herhangi bir sayıyla ortak böleni yoktur.

2 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 gibi tüm tek sayılar 2 ile aralarında asal sayılardır.

3 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23 gibi sayılar 3 ile aralarında asal sayılardır.

6 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 gibi sayılar 6 ile aralarında asal sayılardır.

12 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 12 ile aralarında asal sayılardır.

15 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19 ve 22 gibi sayılar 15 ile aralarında asal sayılardır.

18 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 18 ile aralarında asal sayılardır.

24 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 24 ile aralarında asal sayılardır.

Yukarıdaki örneklerde, belirttiğiniz sayılarla aralarında asal olan sayılar listelenmiştir. Bu sayılar, ilgili sayı ile hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır.

Aralarında Asal Sayıların Özellikleri Nelerdir?

Aralarında asal sayılar sadece 1 sayısı ile birlikte bölünebilirler. Başka bir ifade ile asal çarpanlarından sadece bir tanesi aynıdır, o da 1’dir.

Örnek vermemiz gerekirse; 14 ve 9, aralarında asal sayılardandır. Her iki sayıda da ortak bölen olarak 1 sayısını görebiliriz.

Aralarında Asal Olma Şartı Nedir?

1 dışında ortak bölen sayısının olmaması aralarında asal şartıdır. Örneğin; 45, 36 ve 20 sayılarını ele alalım. Bu üç sayı, 1 hariç aynı anda farklı bir sayıya bölünemez. Onun için aralarında asal olarak nitelendirilir. Şöyle ki;

• 45 sayısının bölenleri : 1, 3, 5, 9, 15 ve 45’tir.
• 36 sayısının bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36’dır.
• 20 sayısının bölenleri : 1, 2, 4, 5, 10 ve 20’dir.

Görüldüğü gibi burada mühim olan sayıların ortak çarpanlarını yani bölenlerini bulmaktır. Sayıları eğer ikişerli bir şekilde düşünecek olursak hiçbirinin aralarında asal sayılar olamayacağını söyleyebiliriz. Ancak 3 tanesi beraberken üçünün arasında 1 hariç tek bir ortak bölen olmadığı için aralarında asal olma şartını sağlamaktadırlar.

Aralarında Asal Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Bunun için şu yolu izlemek yeterlidir:

1. Önce her bir sayının bölenlerini ayrı ayrı listelenir.
2. Sonra bütün sayıların 1 haricindeki diğer bölenlerini işaretleyin.
3. İşaretlediğiniz bir tane bile sayı mevcutsa bu sayılar aralarında asal değil demektir.
4. Eğer işaretlemiş olduğunuz hiç bir sayı yok ise bunlar aralarında asal sayılardır.

Bir sayının bölenlerini hesaplamak için; ‘’bu, hangi iki sayının çarpımıdır?’ şeklinde düşünerek ilerleyebilirsiniz.

Aralarında Asal Sayıların EBOB’u Kaçtır?

EBOB yani en büyük ortak bölen soruluyorsa, aralarında asal sayıların 1 hariç başka böleni olmadığı için tabii ki cevap 1 olacaktır. Karşınıza çıkacak sorularda bunu doğrudan hap bilgi olarak kullanmanız mümkündür:

Aralarında Asal Sayıların EKOK’u Nedir?

İki sayının tek ortak böleni 1 ise EKOK’u yani en küçük ortak katı, bu sayıların çarpımına eşit olur. Dolayısıyla bu iki sayıyı birbiriyle çarpmanız kâfidir. Eğer 3 farklı sayının aralarında eşit olduğunu düşünürsek bu durum değişebilir. Yani o sayıların en küçük ortak katı, bunların çarpımına eşit olmayabilir. Buna dikkat etmekte yarar vardır.

Aralarında asal sayılar nelerdir? Gibi daha yüzlerce matematik konusunu kolay şekilde öğrenmek için İlerlet.com bünyesindeki güncel kaynaklara göz atabilir, size matematiği sevdirecek ve LGS başarınızı artıracak eğlenceli eğitimlere İlerlet.com sayesinde ulaşabilirsiniz.