Elektrik Alan ve Elektrik Alan Yoğunluğu ( Electric Field Strength and Density)

Arkadaşlar vektörleri bitirdiğimize göre şimdili işleyeceğimiz konu vektörel bir büyüklük olan Elektrik Alan’a geçebiliriz. Diğer yerlerde anlatılana göre baya bir farklı anlatmayı düşünüyorum.
O yüzden ezbere dayalı olarak çalışacak arkadaşlar buradan sonraki bölümü okumasalar onlar için daha az kafa karıştırıcı olur. Şimdi arkadaşlar yükler birbirine çeşitli etkiler yapar. Bu etkiler Elektrik Alan sayesinde ve oranında birbirine iletilir diyebiliriz. Şimdi basit bir analoji yapacağız ve şöyle diyeceğiz. Elimizde bir miktar yük olsun Q kadar, bunun içinden elektrik alan çizgileri çıksın ve yayılsın. Siz olsanız bu çizgileri nasıl hesaplardınız? Tek tek saymak güzel bir çözüm olabilir fakat daha da güzel bir çözümümüz var. Misal yağmurlu bir günde ne kadar yağmur yağdığını ölçmek istiyorsunuz, tek tek yağmur damlalarını saymak doğru bir çözümdür fakat pratik değildir. Onun yerine 1 tane yüzey seçip, o yüzeyin ne ıslandığını hesaplamak size daha güzel bir çözüm getirir ve sizi damla sayma zahmetinden kurtarır. Alan başına düşen yağmur yoğunluğunu bulmanıza yol açar. Biz de aynı bu şekilde davranacağız. Yükler üzerinde yapılan deneyler, yüklerin radyal yani küresel bir şekilde etrafa etki ettiğini göstermiştir. O yüzden biz de alanımızı küresel bir şekilde seçeceğiz.

Bir tane R yarıçaplı bir küre alacağız, içine Q miktarda yük hapsedeceğiz. Bu yükün yaptığı elektrik alan yoğunluğunu ise, yük/alan olarak tanımlayacağız. Kürenin alanı A = 4*pi*R^2 olduğunu adımız gibi biliyoruz. D vektör olarak bir elektrik alan yoğunluğu vektörü tanımlıyoruz.

D = Q/A = Q/(4*pi*R^2) oluyor. Şimdi bu belki ilk defa duyduğumuz D vektörünü tanımladık bir de E daha önce duyduğumuz E vektörünü de tanımlayalım. Diyelim ki E’de elektrik alanın kendisi olsun. E ile D arasındaki ilişki nedir diye birbirimize sorduğumuzda şöyle bir yanıt alırız. Etrafımızda E kadar kuvvetli bir elektrik alan olmasına rağmen, uzay bunun belli bir kısmını geçirmiş ve sonuç olarak D kadar yoğun bir elektrik alan kalmış. Uzayın geçirgenliğini de Epsilon olarak tanımlar isek;

D = E*Epsilon. (Boş uzay için Epsilon = Epsilon0 = 8.85*10^(-12) F/m olarak tanımlanır.)

Böylelikle bildiğiniz elektrik alan;

Epsilon*E = D olacaktır. Buradan da; E = D/Epsilon olur.
E = Q/(Epsilon*A) = Q/(4*pi*Epsilon*R^2) = [1/(4*pi*Epsilon) ]*(Q/R^2) olarak ortaya çıkar ki;
Lisedeki arkadaşlar bu kadar uzun bir formül ile vakit kaybetmeyi sevmezler o yüzden sabit kısma,
k = 1/(4*pi*Epsilon) şeklinde bir dönüşüm uygulayalım. Böylece;
E = k*Q/R^2 olarak bulunur.

http://www.sketchtoy.com/26053402

Arkadaşlar elektrik alanı bu şekilde tanımladık hoş bir şekilde. Elektrik alanın etkilerine bakacağız şimdi de. Elektrik alanı biz yüklerin birbirine etkisi için kullanıyoruz diye söylemiştik. Elektrik alanda bulunan bir yüke bir kuvvet etkir arkadaşlar. Bu etkiyen kuvvet tabi ki elektrik alanla orantılıdır ve oradaki koyduğumuz yük ile de orantılıdır. Yanisi;

F = q*E diyebiliriz.Bu kadar basit bir şekilde kuvveti açıkladık.

Coloumb Yasası hakkında minik bir video: http://www.youtube.com/watch?v=Q0Sz1B3DiSA

Şimdi bir de potansiyel etkisine bakalım bu işin. Şimdi bir cisme bir kuvvet bulunduğu konumdan ötürü etkiyor ise, o cisim o konumda potansiyel enerji kazanır. Hemen formül cambazlığımıza işi dökeceğiz.
P = I*V demiştik üst tarafta, güç formülümüzü zaten vermiştik.

Enerji = Güç çarpı zaman = P*t = I*V*t demiş ve q = I*t şeklinde olduğunu söylemiştik.
Wpot = P*t = q*V olacaktır bu durumda. (V = gerilim tabi ki)
Bir şey enerji kazanıyorsa, bu enerjiyi iş yaparak kaybediyor diyebiliriz. Enerjinin tamamının işe dönüştüğünü düşünürsek;
W = F.s (s = yol olmak üzre) Wiş = Wpot der isek;
F.s = q*V olacaktır. Peki elektriksel kuvveti q*E olarak tanımlamıştık.
q*E.s = q*V oldu. Burada q’lar götürdü ve;
E.s = V olarak kaldı. Yani bu ne demektir. Diyor ki belirli bir yol boyunca elektrik alanların toplamı, gerilimi verecektir. Ya da o noktadaki potansiyeli verecektir. Aynı şekilde bir üstte de q*V’nin iş birimi olduğunu gördük, bu da o noktadaki potansiyel enerjiyi verecektir.

Bu arada fark ettiyseniz E.s yapar iken nokta çarpım kullandım sonuç skaler çıkacak. Yani burada, elektrik alanımızdan, elektriksel potansiyel enerjiyi ve elektriksel potansiyeli ve elektriksel kuvveti çıkarttık kenara koyduk diyebiliriz. Bu işi aklımızda kalması için analoji yapacağız.
En başta dediklerimizi hatırlayın bakalım. Mekanik elektrik benzetmemizi yani.
Potansiyel = V = g.h şeklinde düşünmüştük. Şimdi V = E.s veya E.d diyoruz.
E.d = g.h olduğuna göre? d = h olarak uzunluk birimi aldığımızı farz edin.
E = g oldu yani yer çekimi ivmesine benzetiyoruz biz bu elektrik alanı.
Elektriksel potansiyel enerjiyi;
q*V olarak söyledik bunu da q = m der iseniz çünkü 2 side bir yük birimi.
q*V = m*g.h olacaktır. Yine bir potansiyel enerji formülümüzü gösterdik.

Bir de kuvvet F = m.g diyoruz = q.E bildiğimiz olaylar yine. Yani tüm formüllerimizi kılıfına uydurmayı başardık ki bunlar daha kolay düşünmek ve daha kolay hatırlamak için. Yoksa %100 uyum hiçbir zaman beklemeyin neden derseniz çünkü bunların potansiyellerini benzetiyoruz fakat bir de bunların gerçekten öyle potansiyelleri de var. Elektrik akımını hıza benzetiyorsak, elektronun hızını neye benzeteceğiz değil mi?
Neyse şimdi bu benzetmelerimizi, DeathWarrior arkadaşımızın yardımıyla şekile döktük diyebiliriz. Bu zamana kadar olan benzetmelerimizin bulunduğu o yegane şekil için kendisine teşekkür ederek şekli yayınlıyoruz.

Arkadaşlar görüldüğü buna bakarak kolayca formülleri hatırlayabilirsiniz.
Bunun dışında elektriksel akı diye bir şey var. Akımız da çok basit belli bir alandan geçen elektrik alan vektörü sayısıdır elektriksel akı. O zaman şöyle yapacağız. Birim alandan E kadar vektör geçiyor ise, A kadar alandan

Elektriksel akı = E.A = E*A*cos(alfa) şeklinde söyleyebiliriz.
Buradaki A nın alanın normal vektörü olduğunu artık ilkokullu okurlarımız dahi biliyor. Burada cos kullanıyoruz çünkü elektriksel akı yakalamak için hani alan kullanıyoruz ya yağmurda olduğu gibi. Bilindiği üzre bu alanı yamuk tutarsak düz tutmazsak daha az yağmur yakalarız. Olabildiğince dikine gelmesi lazım yağmur damlalarının alana, eğer alana dik geliyorsa, normal vektöre paralel olmalı yani cosinüs olmalı.

Hatta buradan diyebiliriz ki,

Buradaki soldaki dik alanla, hipotenüs gibi yamuk ama büyük duran alandan geçen elektrik akı aynıdır çünkü alan ne kadar büyük olursa olsun dik durmadığı için az akı yakalamıştır.

Buradan tabi D vektörü de işin içine katarsak şunu bulabiliriz ki; (Bu arada en başta D vektörü işin içine koyarken orada da noktasal çarpım ve kosinüs vardı fakat biz çakallık edip alanımızı her zaman yarıçap vektörüne dik olacak şekilde seçtiğimizden cos0 = 1 geldi.)

Böylelikle meşhur gauss yasamızı da çıkarmış olduk.

Gauss yasasını buraya koydum ama birazcık açıklamaya çalışayım. Bizim yaptığımız şeyler aslında bunlar. Diyor ki eğer bir yükü bir gauss yüzeyinin içine hapsedersek, akı çıkan elektrik alan çizgilerinin toplamıyla bulunabilir. Gauss yüzeyi mutlaka kapalı bir yüzey olmak zorunda. Bir küre gibi bir dikdörtgenler prizması gibi veya küp gibi ama dediğimiz gibi elektrik alan radyal yayıldığından bu şekilde küresel bir alan seçtik. Burada E*A = Q/Epsilon = Elektriksel akı diyor başka da bir şey demiyor aslında.

Küresel Yükler

Arkadaşlar iletken veya yalıtkan kürelerimiz olabilir. Yalıtkan kürenin elektrik alanını yük dağılımına göre gauss denkleminden çıkarabiliriz. Bunun dışında iletken bir küreye gelecek olursak şimdi öncelikle dememiz lazımdır ki bir iletkenin içinde yükler serbestçe hareket edebilirler. Yani herhangi bir kuvvetin etkisinde kalırlarsa, o zaman yer değiştirirler ve kuvvetsiz bir bölge oluştururlar. Kuvvet yoksa elektrik alan da yok diyebiliriz. Yani buradan iletkenin içinde elektrik alan yoktur cümlemiz gelecektir. Kürenin tam olarak yüzeyine dizilir bizim yüklerimiz. Kürenin merkezini orjin kabul ederek herhangi bir a kadar uzaklıktaki yani a yarıçapındaki elektrik alana bakmak istersek. Bu arada kürenin yarıçapını da R kabul ediyoruz.
a<R için iletkenin içindeyiz yani elektrik alan sıfır.

a>=R için ise E = k*q/r^2 denklemimiz geçerlidir Bu yüzden Edış = k*q/a^2 olacaktır.