Kare Dalga

Kare dalga işareti özellikle elektronik mühendisleri için çok önemli bir işarettir.

Kare dalga herhangi bir anda iki farklı değerden birini alabilen periyodik bir işarettir. Yukarıdaki örnekte bu iki farklı değer 5V ve 0 V olarak verilmiş. +10A -10A veya herhangi iki farklı büyüklük de olabilirdi. Görüldüğü üzere kare dalga her şeyden önce periyodik bir işarettir. Periyodik işaretlerin periyodik olmayanlara göre iki belirgin özelliğinin olduğunu biliyoruz.
Bunlar periyot ve frekanstır.
Periyot; periyodik bir işaretin bir kere kendisini tekrarlaması için geçen süre olarak tanımlanır. T ile gösterilir, birimi saniyedir.

Frekans ise periyodik bir işaretin bir saniyede kaç periyot tamamladığıdır, yani bir saniyede kendisini kaç kere tekrarladığıdır. f ile gösterilir, birimi Hertz dir. Örn: Periyodik bir işaret saniyede 10 defa kendisini tekrarlıyorsa frekansı 10Hz dir.

Düşünüldüğünde anlaşılacağı üzere f ve T birbirine doğrudan bağlıdır ve bu bağlantı f=1/T dir.

Diğer periyodik işaretlerde olmayan sadece kare dalgada olan bir özellik “duty cycle” dır. Duty cycle, bir kare dalga işaretinin bir periyot boyunca “lojik 1″ olduğu sürenin toplam periyoda oranıdır. Yukarıdaki örnek için “duty cycle” X/periyot tur.
Yüzde(%) cinsinden veya ondalık gösterimle ifade edilir. Yukarıdaki kare dalga örneğimizde duty cycle sayısal olarak gösterilmemişse de yaklaşık olarak % 50 dir veya 0.50 olarak gösterilir. Örneğin duty cycle si %20(aynı zamanda 0.20) olan bir kare dalga işareti:

0.2=x/5x

Ortalama DC değer. Evet, periyodik işaretlerde bir de ortalama DC değerden bahsedilir. Karşılaştığımız çoğu periyodik işaretin ortalama DC değeri 0 dır ama 0 olmak zorunda değildir. Nitekim yukarıda ilk verilen örnekte kare dalga işaretimizde ortalama DC değeri 5V/2 = 2.5V tur(duty cycle=0.5 idi). Ortalama DC değer bulmak için bir periyotta grafiğin altında kalan alanı(sıfırın altındakileri – kabul ederek) periyot süresine böleriz.
%20 “duty cycle” olan yukarıdaki örneğimizde bir periyotta grafiğin altında kalan alan 5 x X=5X, periyot 5X. Dolayısıyla ortalama DC değeri 5X/5X=1 V olur.

Ortalama DC değer ne anlam ifade eder?
Ortalama DC değer kare dalga işaretinden süzerek elde edebileceğimiz DC değerdir. Yani ortalama değeri 5V olan bir kare dalgadan alçak geçiren filtre kullanarak 5V luk DC gerilim elde edebiliriz.

Peki “Duty Cycle” ile ortalama DC değer arasında nasıl bir ilişki vardır?
Ortalama DC değerin bir periyotta grafiğin altında kalan alanın periyot süresine oranı olduğunu ifade etmiştik. Duty cycle bu alanı doğrudan etkilediğinden ortalama DC değer ile duty cycle birbirine doğrudan bağlıdır. A V  ile 0 V arasında değişen ve duty cycle si D olan bir kare dalganın ortalama DC değeri:
Ortalama DC değer = A x D olur. Örneğin 10V ile 0 V arasında değişen, duty cycle %60 olan bir kare dalganın ortalama DC değeri 10×0.6= 6 V olur. Bu sayede bir kare dalganın “duty cycle” ını değiştirerek kare dalga ile sürülen herhangi bir yüke aktarılan ortalama gücü değiştirebiliriz. Bir kare dalga işaretinin “duty cycle” değerinin değiştirilmesine PWM(pulse width modulation)-darbe genişlik modülasyonu denir.

Son olarak kare dalga için yükselme ve düşme süresi olarak iki zaman tanımlanır. Gerçek hayatta kare dalgamızın bir anda 0 dan A volta çıkmasını bekleyemeyiz, kısa da olsa bir zaman geçer bu zamana yükselme süresi(rise time), aynı şekilde A volttan 0 a düşmesi için geçen süreye düşme süresi(fall time) denir.

Genel olarak kare dalgamızı tanıdık ancak asıl önemli olan konuya şimdi geçiyoruz: Kare dalga işaretimizin frekans spektrumu.

Not: İşaret ve sinyal kelimeleri eşanlamlıdır.
Herhangi bir sinyalin(örn: voltaj, akım) bir zaman bölgesinde bir de frekans bölgesinde görüntüsü vardır. İşaretimizi osiloskopa bağladığımızda zaman bölgesinde görürken, spektrum analizörüne bağladığımızda frekans bölgesinde görürüz. Elektronik mühendisliğinde elektriksel işaretleri zaman bölgesinde analiz etmek istediğimiz gibi çoğu zaman frekans bölgesinde de analiz etmek isteriz. Bir işaretin içerisinde hangi frekanslar var? Üzerinde çalıştığımız devrede hangi frekans bileşenleri bizim için önemli, hangileri gereksiz, hangileri gürültü… gibi soruların cevabını frekans bölgesinde düşünürüz. Atıyorum bir FM radyo sinyali içerisinde veya bir GPS sinyali içerisinde gelmesini beklediğimiz frekans aralığı belirlidir, diğer frekans bileşenleri bizim için gürültüdür, istemeyiz…

Örneğin f frekanslı bir sinüzoidal işaret zaman bölgesinde aşağıdaki gibi salınırken frekans bölgesinde sadece f frekansını işgal eder:

Aynı şekilde frekans bölgesinde sadece tek frekans işgal ediliyorsa bu işaretin zaman bölgesindeki görüntüsü bir sinüzoidaldir(iki yönlülük).

Veya bir konuşma işareti zaman bölgesinde aşağıdaki gibiyken frekans bölgesinde 1k-3k frekansları arasını işgal eder, yani konuşma işareti frekansları 1k ile 3k arasında değişebilen bir çok sinüzoidali barındırıyor.
Zaman bölgesinde tipik bir konuşma sinyali:

Bir işaretin zaman bölgesindeki görüntüsü ile frekans bölgesindeki görüntüsü Fourier dönüşümü ile birbirine bağlıdır. Örneğin sinüzoidal bir işaretin fourier dönüşümünü aldığımızda f frekansında bir “dirac” fonksiyonu görürüz(yani sadece f i işgal eder). Fourier dönüşümü bize bu imkanı veren matematiksel bir araçtır, bu işlemi yaptığı açık ancak nasıl yaptığını ne yazık ki henüz tam bilmiyorum, açıklayabilcek kadar özümseyebildiğim zaman bu yazıyı güncelleyeceğim veya yeni bir yazı yazacağım. Dolayısıyla şimdilik fourier dönüşümünün bizim işimize nasıl yaradığını bilelim yeter.

Peki, gelelim kilit sorumuza:
Bizim kare dalga işaretimiz zaman bölgesinde böyleyken acaba frekans bölgesinde nasıldır? Sorumuzun cevabı kare dalga işaretimizin fourier dönüşümünde…
Kare dalga işaretimizin fourier dönüşümünü aldığımızda(fourier dönüşümü ve fourier seri açılımı esasında aynı işlemdir)
yani f frekanslı bir kare dalga işaretinin frekans bölgesindeki görüntüsüne baktığımızda varsa 0(ortalama DC) frekans bileşeni ve f,3f,5f,7f … frekanslarının işgal edildiğini görürüz. Yani bizim f frekanslı dediğimiz kare dalgamız aslında içerisinde birbirinden farklı frekanslı bir çok sinüzoidal barındırıyor. Diğer bir ifadeyle bu barındırılan sinüzoidalleri topladığımızda kare dalga elde ediyoruz. Bizim köşeli köşeli gördüğümüz kare dalgamızın içerisinde çeşitli frekanslı ve çeşitli genlikli sinüzoidaller var. Enteresan ama gerçek!
Kare dalgamızı oluşturan bu sinüzoidallere aynı zamanda harmonikler adı verilir. Bu sinüzoidallerden(veya harmoniklerden) genliği en büyük olan sinüzoidal kare dalgamızla aynı frekanslı olan sinüzoidaldir. Karedalganın oluşumunda en büyük emeği olan da bu sinüzodaldir, bu yüzden kendisine “fundamental component”(temel bileşen) denir. Düzeltme: Temel bileşen frekansının (tek veya çift)tam katı frekanslı bileşenlere harmonikler denir.
Kare dalgada sadece tek harmonikler vardır ve frekansları 3f, 5f, 7f, 9f… olarak sonuza kadar gider(pratikte belirli sayıda harmonik toplamak bizim için yeterli kare dalgayı verebilir) ve frekansı yüksek harmoniklerin daha düşük genlikli olduğunu görürüz:
0 ile A arasında değişen %50 “duty cycle” si olan bir kare dalga için:

Şimdi gelelim kare dalga ve frekans bileşenleri ile ilgili internetten derlemiş olduğum, olayları çok güzel özetleyen bazı resim ve apletlere:
Wikipedia: Harmoniklerin toplanmasıyla kare dalganın oluşumu:

techmind.org: En önemli 4 harmoniğin toplanmasıyla kare dalganın büyük ölçüde oluşması:

falstad.com: Bu konuyla alakalı karşılaştığım en güzel görsel içerik:
http://www.falstad.com/fourier/

Sonuç olarak; kare dalganın sinüzoidal bileşenler barındırdığının farkında olmalıyız. Bu yazıda anlatılmak istenen en önemli durum budur.

Böylece kare dalga işaretimizi tanımaya çalıştık. Artık kare dalgayı biraz daha farklı değerlendirebiliriz. Mesela bir PWM işaretinden DC çıkış elde edilmek isteniyor, olur mu olmaz mı? Hemen kare dalganın frekans bileşenlerine bakıyoruz 0 frekansta(DC de) değer var mı? Yani ortalama bir DC değer var mı? Eğer varsa alçak geçiren bir filtre ile bu DC değer elde edilebilir. Bu ortalama DC değerin kare dalganın “duty cycle” ile değiştiğini hatırlayınız, eğer “duty cycle” yi değiştirebilirsem alçak geçiren filtremin çıkışında değişken bir DC değer görürüm. SMPS DC-DC kıyıcıların çalışma prensibi.

Veya elimizde f frekanslı bir kare dalgamız varsa f frekanslı bir sinüzoidal de vardır, çünkü bu kare dalganın ilk bileşeni aynı frekanslı sinüzoidaldir, kare dalganın içinden bu sinüzoidali çekip almak için yapmamız gereken merkez frekansı f olan bir bant geçiren filtre kullanmak, eğer ortalama DC değer sıfırsa alçak geçiren filtre kullanarak da bu sinüzoidali alabiliriz. Elimizdeki bu f frekanslı kare dalgadan elde edebileceğimiz sadece f frekanslı sinüzoidal mi? Hayır, daha bir dünya harmonik(3f, 5f, 7f…) var ama genlikleri düşük  Bunları da süzüp alabiliriz ancak kullanabilmek için yükseltmemiz gerekir.

Öte yandan f frekanslı kare dalgamızdan opamplı bir devreyle kolayca gerçekleyebileceğimiz integrator yardımıyla üçgen dalga elde edebiliriz.

Peki elimizde bir f frekanslı sinüzoidal varsa bunu f frekanslı bir kare dalgaya nasıl çeviririz? Opamplı bir karşılaştırıcı ya da karşılaştırıcının jitter olayının önüne geçilmiş modeli yine opamplı bir devreyle gerçeklenebilecek olan “Schmit trigger” kullanarak.

Karşımıza çıkabilecek başka bir durum: Bir sisteme kare dalga giriyor fakat kare dalga umduğumuz çıkış pek kare dalgaya benzemiyor. Sistem dediğim bir yükseltici veya en basitinden uzunca bir kablo olabilir. Bunu nasıl yorumlarız? Demek ki sistemimiz kare dalgamız içerisindeki harmoniklere aynı muameleyi yapmamış, atıyorum f frekanslı bileşeni 5 kat yükseltirken 7f frekanslı bileşeni 2 kat yükseltebilmiş. Veya f frekanslı bileşeni 3ms geciktirirken 9f frekanslı bileşeni 4ms geciktirmiş(grup delay dediğimiz olay)… Dolayısıyla farklı muamelelerden geçen bileşenler çıkışta eski resmi(kare dalgayı) oluşturamıyor…