Kondansatör ve Denklemleri

Güncelleme 15/06/2020

Kondansatör iki plaka arasında oluşan elektrik alan ile elektrik enerjisini tutan pasif bir devre elemanıdır. Bu elemanın karakteristiği direncin aksine zamana göre değişiklik göstermektedir. Bu neden kondansatörün t=0 başlangıç anı, şarj-deşarj olduğu t=0->t anına kadar geçen süre ve şarj olduktan sonraki gösterdiği karakteristikler birbirinden farklıdır.

Şekilde görüldüğü gibi kapasite üzerine herhangi bir V potansiyeli uygulandığında plakalarda biri +q yükü diğeri ise -q yükü ile yüklenecektir. Böylece kondansatör plakaları arasında oluşan elektik alan ile elektrik enerjisi depolanmaktadır.

E=q/£A       Plakalar arasında oluşan elektrik alan                                                                                                                                                         

V=Ed=qd/£A   Plakalar arasındaki potansiyel fark                            

£ = Plakalar arasındaki malzemenin dielektrik katsayısı

A = Plakaların yüzey alanı

q = Plakalardaki yük miktarı

d = Plakalar arasındaki mesafe                                                                                                                   

Kondanstör üzerinden geçen akım ise birim zamanda depolanan yük miktarı olarak ifade edilmektedir. Bu nedenle

i(t)=dq/dt kondansatör üzerinden geçen akım  zamana bağlı diferansiyel denklem ile ifade edilir. Kapasitenin karakteristiğini ortaya çıkaran bu denklemdeki zaman ifadesidir.

i(t)=dq/dt

i(t)= d(£Av/d)/dt= Cdv/dt

Kondansatörün kapasitesi C=£A /d  

Kapasite üzerinden geçen akım son olarak  i(t)=Cdv/dt  denklemi ile ifade edilmiştir. Eğer sabit bir DC voltaj uygulanırsa

dv/dt=0 olacaktır. Kondanstör bu nedenle DC devrelerde açık devre olarak ifade edilmektedir.

Akım denkleminde her iki tarafın integralini alırsa kapasitör üzerindeki voltajın akımın integralli ifadesine eşit olacağı görülmektedir. Denklemde V(0) ifadesi integral sabiti konumundadır. Kapasitenin bağlangıçtaki potansiyelini ifade etmektedir.

Akım Gerilim Arasındaki Faz Farkı

Yukarıdaki devrede V(t)=Acos(wt) şeklinde bir ac gerilim uygulandığı düşünülürse;

 i(t)=Cdv/dt denkleminden Acos(wt) ifadesinin türevi alınırsa;

i(t)=-CAwsin(wt) gerekli trigonometrik dönüşüm yapıldığında

i(t)=CAwcos(wt+90°) ifadesi elde edilir ve bu ifadeden anlaşılacağı gibi kapasitör üzerinden geçen akım, kapasitör üzerindeki gerilimden 90° ileride hareket etmektedir.

Kapasite üzerindeki gerilim ve akımın grafiği şekildeki gibi olacaktır. Sinyallerin periyotları 360° alınırsa.

Voltaj sinyali tepe değerine 0° de ulaşmaktadır bu nedenle Vm=Acos(0)=A  

Akım sinyali tepe değerine 270° de ulaşmaktadır bu nedenle Im =-CAwsin(270)=CAw 

R=V/I bağıntısıdan kapasitörün direncinin(kapasitans)

Xc=1/Cw olacağı görülmektedir.                     w=2*pi*f

Bu denkleme göre eğer DC bir voltaj uygulanırsa f=0 kapasitans sonsuz olacaktır ve sonsuz direnç nedeniyle akım geçişi olmayacaktır. Bu nedenle kapasite açık devre gibi davranacaktır.

Yüksek frekanslarda ise f=sonsuz kapasitans değeri çok küçük olacağı için kapasite kısa devre olarak düşünülmektedir.

Gerçek Kapasite Eşdeğeri

İdeal kabullerle kapasitenin plakaları arasındaki malzemenin dielektrik katsayısının sonsuz olduğu kabul edilir. Fakat gerçekte bu direnç sonsuz değildir ve kapasite plakaları arasında küçük bir akım akışı olmaktadır. Bunun yanında plakaların ve kondansatörün uçlarının da bir direnç etkisi vardır.

Rp direnci çok yüksektir ve dielektrik malzemenin direncini ifade etmektedir. Rs direnci düşüktür ve kapasite uçlarının, plakaların ve çalışma şartlarından(çalışma frekansı gibi) kaynaklanan direnci ifade etmektedir.

Pratikte sadece seri olan küçük direnç ile ilgilenilir ve bu direnç ESR(Equivalent Series Resistance ) olarak adlandırılır. Bu direnç önemlidir ve hesaplamalarda gözönünde bulundurulmadılır. ESR değeri mOhm-Ohm seviyelerindedir.