Logaritma

Logaritma Nedir?

Logaritmayı anlamak için üstel fonksiyonu anlamak gerekir. Çünkü üstel fonksiyonla logaritma birbirine göre ters durumludur. Üstel fonksiyon bir reel sayının üssünün değişken olduğu fonksiyon türüdür.
Örneğin f(x) = 3^xbir üstel fonksiyondur.
Değişken sayı bir sayının üssüdür. Fonksiyon f(x) = x³ olsaydı bu durumda fonksiyon üstel değil polinom olacaktı.

Üstel fonksiyonu anladık. Logaritma fonksiyonu ise üstel fonksiyonun tersi şeklinde tanımlanır. Yukarıdaki örnekte f(x) = 3^x fonksiyonun verdik.

Bunun tersini alırsak logaritma fonksiyonu ortaya çıkar. Yani f^-1(x) = log₃^x olur.

Matematiksel tanımlamadan sonra daha anlaşılır bir dille logaritmayı tanımlayalım. Logaritma bir sayının başka bir sayıya eşitlenmesi için ihtiyaç duyduğu üstür. Örnek vermek gerekirse 2 sayısının 8’e ulaşması için ihtiyaç duyduğu üs 3’tür. Bunu matematiksel olarak log₂⁸ = 3 olarak ifade ederiz.

Logaritma Kullanım Alanları

Logaritma konusuyla ilgili öğrencilerin en çok merak ettiği şeylerden biri logaritma ne işe yarar sorusudur. Bu soruya cevap vermeden önce şunu anlamamız gerekiyor. Matematik hayatın her alanında kullanılan bir dildir. Bu dilin önemli bir parçası da logaritmadır. Logaritma fonksiyonu birçok hesaplamada kullanılır.

Logaritma çok sayılı basamaklarda hesaplamak için çok kullanılır. Örneğin log1000 = 3 olduğu için büyük sayıları da logaritma ile ifade ederek hesaplayabiliriz. Sayıları sıralarken de logaritmayı kullanırız.

Matematikte tanımlı birçok logaritma fonksiyonuna çok benzerdir. Bu şekilde logaritmayı kullanarak fonksiyon çözümü yapabiliriz. Doğal logaritma olan ln fonksiyonu türev ve integral hesaplamalarında çok sık kullanır. Öyle ki lise düzeyinde dahi bu yönteme başvururuz.

Logaritmanın kullanımında temel olay çok büyük sayıları küçük sayılarla ifade etmektir.

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2^y = 2⁴ eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = a^x > 0 olur.

 B. LOGARİTMA FONKSİYONU

 olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,

 dir.

y = log_ax ifadesinde  sayısına  sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Logaritma Kuralları

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

Kural

Kural

Kural

Kural

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logxbiçiminde gösterilir.

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Kural
 x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.

 0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.
E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

ışlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

 II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,

 log_af(x) = b ise f(x) = a^b dir.

 log_af(x) = log_ag(x) ise f(x) = g(x) dir.

Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.

Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

log_af(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

Örnek:

log₂32 = x   olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

log₂32 = x ise 2^x = 32

x = 5

Örnek:

log₄(x -3) = 2  olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

log₄(x -3) = 2 ise 4² = x – 3

x = 19

Hangi Logaritma Fonksiyonu kullanacağız

1. y = log_ax fonksiyonunda a = 10 alınırsa logaritma fonksiyonuna bayağı logaritma fonksiyonu denir.                                y = log₁₀x = logx şeklinde yazılır.
2. Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir.                                                                              y = log_ex = lnx şeklinde yazılır.
3. log_a1 = 0 (1 sayısının her tabandaki logaritması sıfırdır.)
4. log_aa = 1 (a Î R⁺ – {1} ise) (Tabanın logaritması daima 1 dir.)

Örnekler:

• log55 = 1
• log10 = 1
• lne = 1

5.  Pozitif iki gerçel sayının çarpımının a tabanındaki logaritması, bu sayıların a tabaındaki logaritmaları toplamına eşittir. log_a(x.y) = log_ax + log_ay

Örnek:

log₂₁3 + log₂₁7   işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

log₂₁3 + log₂₁7 = log₂₁(3.7)

= log₂₁21

= 1

6.  Pozitif gerçel x sayısının n. kuvvetinin a tabanındaki logaritması x sayısının a tabanındaki logaritmasının n katına eşittir. log_axⁿ = n.log_ax , n Î R

Örnek:

log₃5 = a  olduğuna göre, log₃135 ifadesinin a cinsinden eşiti kaçtır?

Çözüm:

log₃135 = log₃(3³.5)

= log₃3³ + log₃5

= 3.log₃3 + log₃5

= 3 + a

Örnek:

2.log5 + 3.log2  ifadesi kaça eşittir?

Çözüm:

2.log5 + 3.log2 = log5² + log2³

= log25 + log8

= log(25.8)

= log200

7.  Pozitif iki gerçel sayının bölümünün a tabanındaki logaritması, bu sayıların a tabanındaki logaritmaları farkına eşittir. log_a(x / y) = log_ax -log_ay

Örnek:

log50 – log5  ifadesinin sonucu kaçtır?

Çözüm:

log50 – log5 = log (50 / 5)

= log10

= 1

Örnek:

log2 = x  olduğuna göre log 5 in x cinsinden değeri kaçtır?

Çözüm: 

log5 = log(10 / 2)

= log10 – log2

= 1 – x 

8.  Pozitif n gerçel sayısının a^x tabanındaki logaritması, n sayısının a tabanındaki logaritmasının 1 / x katına eşittir. log_a^xn =  (1 / x).log_an, x Î R – {0}

Uyarı: m ≠ 0 ve n, m Î R olamk üzere, log_a^mbⁿ = (n / m).log_ab