Özel Üçgenler

Özel Üçgen

Kendi özellikleri ve yapılarına sahip olan özel üçgenler genel anlamda 3 farklı şekilde ele alınmalıdır.

• Dik üçgenler

Kenarlarına Göre Dik Üçgenler

• 3 – 4 – 5 üçgeni
• 8 – 15 – 17 üçgeni
• 5 – 12 – 13 üçgeni
• 7 – 24 – 25 üçgeni

Açılarına Göre Dik Üçgenler

• 30 – 60 – 90 üçgeni
• 30 – 30 – 120 üçgeni
• 45 – 45 – 90 üçgeni – İkizkenar dik üçgen
• 15 – 75 – 90 üçgeni

• İkizkenar Üçgenler

• Eşkenar Üçgenler

Dik Üçgenler

Dik Üçgen Özellikleri

• Bir açısı 90 derecedir.
• İç açılarının toplamı 180 derecedir.
• Dik üçgenin diklik merkezi (yüksekliklerin kesişim noktası) dik kenarların kesiştiği köşededir.
• Dik üçgenin orta dikmelerinin kesişim noktası hipotenüsün orta noktasıdır.
• Dik üçgenler çeşitkenar ya da ikizkenar olabilir ancak eşkenar olamaz.
• Dik üçgenin dik olmayan iki açısı dar ve tümler açılardır.
• Dik üçgende dik açının gördüğü kenara hipotenüs adı verilir ve dik üçgenin en uzun kenarıdır.

Kenarlarına Göre Dik Üçgenler

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.

 3 – 4 – 5  Üçgeni

Kenar uzunlukları 3 – 4 – 5  sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir.  6 – 8 – 10 ,  9 – 12 – 15 , … gibi.

 5 – 12 – 13   Üçgeni

Kenar uzunlukları   5 – 12 – 13   sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir.  10 – 24 – 26  ,  15 – 36 – 39 , … gibi.

 8 – 15 – 17   Üçgeni

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

 7 – 24 – 25   Üçgeni

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Açılarına Göre Dik Üçgenler

30 – 60 – 90 Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde ABH ve ACH   30° – 60° – 90°   üçgenleri elde edilir.

30° – 60° – 90°   dik üçgeninde; 30°’lik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60°’lik açının karşısındaki kenar, 30° nin karşısındaki kenarın   katıdır.

30 – 60 – 90 Üçgen özellikleri

– İç açıları her daim kural doğrultusunda 30-60-90 üçgeni olarak bilinir.
– Bir dik üçgendir.
– 30 derecenin karşısında olan kenar hipotenüsün yarısıdır.
– 60 derecenin karşısında olan kenar 30 dereceyi gören kenarın katıdır.
– 90 derecenin karşısında olan kenar 30 derecenin önündeki kenarının iki katıdır.
– İç açıları toplamı 180 derecedir.

30 – 60 – 90 Üçgeni kuralı

30 derecenin karşısında olan kenar hipotenüs uzunluğunun yarısına verir. 60 derecenin karşısında olan kenar ise, 30 derecenin gördüğü kenar üzerinden ile çarpılır. Aynı şekilde 90 derecenin karşısında olan kenar ise, 30 derecenin karşısındaki kenarının 2 katı olarak ifade edilmektedir.

45 – 45 – 90 Üçgeni  ( İkizkenar dik üçgen )

Hipotenüs 45° nin karşısındaki kenarın  katıdır.

45 – 45 – 90 Üçgenin özellikleri

• Bu özel dik üçgen aynı zamanda bir ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgen, iki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgendir. İki açısı da eşittir.
• Hipotenüsün uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluğunun √2 katıdır. Yani, x uzunluğunda iki kenarı olan 45 45 90 üçgeninde, hipotenüsün uzunluğu x√2’dir.
• Her iki dik kenarın uzunluğu birbirine eşittir.
• Diğer üçgen türleri ile birlikte çeşitli şekillerde kullanılır. Örneğin, karenin yarısı bir 45 45 90 üçgenidir ve bu üçgen, karenin iki eşit parçaya bölünmesinde veya ölçeklendirilmesinde kullanılabilir.

30 – 30 – 120 Üçgeni

30° – 30° – 120°   üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar  olur.

15 – 75 – 90 Üçgeni

15° – 75° – 90°   üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.

15 – 75 – 90 Üçgeninin Özellikleri

• İki dar açının toplamı diğer iç açının toplamına eşittir.
• Aynı zamanda bir dik üçgendir.
• İç açıları toplamı 180 derecedir.
• Belirli bir formül kapsamında kenar uzunlukları birbiriyle ilişkilidir.
• İki dar açının birbirine oranı 1/5 olmalıdır.
• Hipotenüse ait olan yükseklik hipotenüs uzunluğunun 1/4 kadarıdır.
• Hipotenüse ait yükseklik indirildiğinde, birbirine eşit olmayan 2 farklı üçgen meydana gelmektedir.
• 15 derece ve 75 derece karşısındaki kenarlar üzerinden üçgenin alanı kolay bir şekilde bulunabilir.

15 – 75 – 90 Üçgeni Kenar Bağıntıları

Diğer dik üçgenlerde olduğu gibi 15 75 90 üçgeninde de kenarlar arasında sabit bir oran vardır. Geometrinin diğer kurallarından bu oranı kendiniz elde edebilirsiniz.
15 75 90 üçgeninde 15 derecelik açının karşısı 1 birimse 75 derecelik açının karşısı da √3 + 2 birim olur. Hipotenüs yani en uzun kenar ise 8 + 4√3 olur.

İkizkenar Üçgen

En az iki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların gördüğü açılar da aynı zamanda eşittir. Bir ikizkenar üçgende uzunlukları eşit olan kenarlara yan kenar, uzunluğu farklı olan üçüncü kenara taban, yan kenarlarla taban arasında kalan eşit açılara taban açısı, yan kenarlar arasındaki üçüncü açıya tepe açısı denir.

İkizkenar Üçgen Özellikleri

• İkizkenar üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.
• İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir.
• İkizkenar üçgenin taban üzerinden yan taraflara doğru paralel bir şekilde çizilen doğruları vardır ve uzunlukları birbirine eşittir.
• İkizkenar üçgende ikizkenarlara ait olan yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve kenar orta dikmeler birbirlerine eşittir.
• İkizkenar üçgende üçüncü kenarın üzerindeki herhangi bir yerden ikizkenara inen dikmelerin toplamdaki uzunluğu, eş kenarlara köşeler tarafından inilen yüksekliklerin tüm uzunluğuna eşittir.
• İkizkenar üçgende üçüncü kenarın üstündeki herhangi bir noktadan ikizkenar üçgene çizilen paralellerin toplamdaki uzunluğu ikizkenarların uzunluklarına eşittir.
• Üçüncü kenara ait olan yükseklik, kenarortay, kenar orta dikme ve açıortaydır.
• İkizkenar üçgenlerde tepe açısının açıortayı ayrıca yükseklik ve kenarortay olarak kabul edilir.
• Tabana ait yükseklik tabanı ortalar, dolayısıyla aynı zamanda tabana ait kenarortaydır.
• Tabana ait yükseklik tepe açısını iki eşit açıya böler, dolayısıyla aynı zamanda tabana ait açıortaydır.
• Tabana ait yükseklik tabanı ortaladığı için aynı zamanda tabana ait orta dikmedir.
• Üçgen tabana ait yüksekliğe göre simetriktir.

İkizkenar Dik Üçgenler

İkizkenar dik üçgen, iki kenarı eşit uzunlukta olan dik üçgendir. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. İki doğrunun dik olması demek aralarındaki açının 90 derece olduğu anlamına gelir. Diğer iki kenarın eşit olması durumunda aralarındaki açılar da eşit olmaktadır. Dolayısıyla ikizkenar dik üçgende ikiz olan açılar da 45’er derecedir.

İkizkenar Dik Üçgenin Özellikleri

• İki kenarı eşittir.
• İki açısı eşittir ve 45’er derecedir.
• Dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır
• Dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik aynı zamanda açıortaydır
• Yüksekliğin uzunluğu hipotenüsün yarısı kadardır.

İkizkenar Üçgeni detaylıca inceyelim

1. İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC| |BH| = |HC|m(B) = m(C)

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC| m(BAH) = m(HAC)m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.
4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.
7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.
|AB| = |AC| Þ |LC| = |HP| + |KP|

8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.

Eşkenar Üçgen

Tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. İç açıları da birbirine eşit ve her biri 60 derecedir.

Eşkenar Üçgen Özellikleri

• İç açılar toplamı 180 derecedir.
• Her bir açısı 60 derecedir.
• Kenar uzunlukları birbirine eşittir.
• Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay, yükseklikler, çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.
• Bir kenara ait yükseklik, aynı zamanda o kenara ait açıortay, kenarortay ve orta dikmedir.
• Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.
• Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklarının toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.
• Eşkenar üçgen ikizkenar üçgenin tüm özelliklerini taşır.
• Eşkenar üçgenin tüm merkezleri (diklik merkezi, iç teğet çemberin merkezi, ağırlık merkezi, çevrel çemberin merkezi) aynı noktadadır.

Eşkenar Üçgeni detaylıca inceyelim

Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.

Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

Dik Üçgen

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir. Çemberde çapı gören çevre açı 90°’dir.

Dik Üçgen Özellikleri

• Bir açısı 90 derecedir.
• İç açılarının toplamı 180 derecedir.
• Dik üçgenin diklik merkezi (yüksekliklerin kesişim noktası) dik kenarların kesiştiği köşededir.
• Dik üçgenin orta dikmelerinin kesişim noktası hipotenüsün orta noktasıdır.
• Dik üçgenler çeşitkenar ya da ikizkenar olabilir ancak eşkenar olamaz.
• Dik üçgenin dik olmayan iki açısı dar ve tümler açılardır.
• Dik üçgende dik açının gördüğü kenara hipotenüs adı verilir ve dik üçgenin en uzun kenarıdır.

Pisagor Bağıntısı Nedir?

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.

Hipotenüsün karesi = Dik kenarların kareleri toplamı

x² + y² = z²

Öklid Teoremi – Kuralı Nedir?

Öklid teoremini dik bir üçgende hipotenüse ait yüksekliğin çizilmesi ve bu uzunluklar arasındaki bağıntı olarak değerlendirebiliriz.

Kısa öklid teoremini uygulayabilmek için;

• Dik üçgen
• Bu üçgende hipotenüse ait yükseklik çizilmiş olmalıdır.

h, üçgenin bir kenarı üzerine çizilmiş yüksekliğin uzunluğunu,
p, hipotenüsü,
k, hipotenüs üzerindeki kenara ait olan diğer kenarın uzunluğunu temsil eder.
Bu bağıntı, bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi gösterir. Yükseklik, dik üçgenin hipotenüsüne dik olarak çizildiğinde, oluşan iki alt üçgenin benzer olduğu durumu ifade eder.

Bu üçgende öklid bağıntılarını şöyle sıralayabiliriz:

• h² = p * k
• c² =p * (p + k)
• b² = k * (p + k)

Öklid’in Yükseklik Bağıntısı

Öklid’in Yükseklik Bağıntısı, bir üçgenin içinde yer aldığı bir kenarı ve bu kenara ait yüksekliği arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu bağıntı, üçgenin benzer iki alt üçgeni arasındaki orantıdan türetilir.

Bir üçgenin bir kenarı üzerinde çizilmiş yüksekliğin, bu kenarı ait olan üçgenin hipotenüsüne bölünmüş uzunluğu, o üçgenin diğer iki kenarının uzunluklarından birine eşittir.