Süper Pozisyon teoremi

Güncelleme 15/06/2020

Süper Pozisyon teoremi iki ya da daha fazla kaynağı bulunan doğrusal elektrik devrelerine uygulanır.Doğrusal devre, direncin her zaman sabit kaldığı devredir.Her kaynağın  bir devreden geçireceği akımların veya oluşturacağı gerilimlerin toplamı, o devrenin akımını veya gerilimini verir.Bu yöntem uygulanırken, devredeki kaynaklar sıra ile devrede bırakılarak , diğerleri devreden çıkartılır. Kaynakları devreden çıkartırken, kaynak gerilim kaynağı ise açılan uçlar kısa devre yapılır.Eğer kaynak akım kaynağı ise açılan uçlar açık devre olarak bırakılır.

İki ya da daha fazla kaynaklı devrelerde, herhangi bir devrenin akımı  yada gerilimi , her bir kaynağın meydana getirdiği akım yada gerilimlerin aritmetik toplamıdır.

İki Kaynaklı Gerilim Bölücü :

Aşağıdaki şekildeki devrede, istenen, P noktası ile şase arasındaki gerilim değerinin bulunmasıdır. P noktasındaki gerilimlerin bulunması için, şekil b ve şekil c de görüldüğü gibi her bir kaynağın etkisi ayrı ayrı bulunur, daha sonra bunlar birleştirilir. İlk olarak V₁ kaynağının etkisini bulabilmek için şekil b de görüldüğü gibi V₂ kaynağı uçları kısa devre edilir. Böylece  V₂ kaynağının uçlarının kısa devre edilmesiyle, R₁ direnci doğrudan b noktasıyla şaseye bağlanmış olur. Bunun sonucunda, R₂ ve R₁ dirençleri birbirine seri bağlı hale gelir ve bu iki direnç V₁ kaynağının uçlarına bağlıdır. Böylece bu iki direnç bir gerilim bölücü olur. Sonuç olarak da aranan P noktasındaki gerilim aynı zamanda R₁ direnci uçlarındaki gerilimdir.V₁ kaynağı tarafından beslenen bu devrede R₁ uçlarındaki gerilim V_R1‘i bulmak için gerilim bölme yöntemiyle,

V_R1 = (R₁ / (R₁ + R₂ )) . V₁

olur.

Şekil :  İki kaynaklı bir devreye Süperpozisyon teoreminin uygulanması

İkinci olarak, V₂ gerilim kaynağının etkisi bulunur. Bunun için yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi V₁ gerilim kaynağı uçları kısa devre edilir. Yani R₂ direncinin üst ucu topraklanır. Böylece, yine R₁ ve R₂ dirençleri seri olarak V₂ kaynağının uçlarına bağlı olduğundan; P noktasındaki gerilim R₂ direncinin alt ucundaki gerilime eşittir. Sonuç olarak devre, negatif beslemeli bir gerilim bölücü devre durumuna indirgenmiş olur. Gerilim bölme kuralı uygulanarak V_R2 gerilimi bulunabilir. Yani

V₂ gerilimi negatif işaretli olduğu için, P noktasındaki gerilimin değeri de negatif olur. Sonuç olarak P noktasındaki gerilimin değeri V₁ ve V₂ gerilim

kaynaklarının ayrı ayrı meydana getirdikleri gerilimlerin bir bileşkesi olduğundan,

V_P = V₁ + V₂

= 20 – 3

V_P = 17 V     ‘tur.

Yukarı şekildeki devreden görüldüğü gibi, V₁ gerilimi V₂ geriliminden daha büyük olduğu için bu gerilimlerin P noktasında meydana getirdikleri gerilimlerin aritmetik toplamı olan V_p de pozitiftir. Böylece Süperpozisyon teoremi yardımıyla, yukarıdaki problem devre, iki adet seri gerilim bölücü devreye indirgenmiş olur. Doğal olarak aynı işlemlerden çok kaynaklı devrelere de uygulanabileceği gibi her bir gerilim bölücü devre birden fazla seri dirençten de meydana gelebilir.

Süperpozisyon’un Özellikleri :

Bu teoremin uygulanabilmesi için devredeki bütün elemanların lineer ve iki yönlü olmaları gerekmektedir. Herhangi bir elemanın lineer olması demek, o elemana uygulanan gerilim ile içinden geçen akımın orantılı olması demektir.Elemanın iki yönlü olması ise eleman uçlarına uygulanan gerilim işareti değişse bile içinden geçen akım miktarının değişmemesidir. Elektrik devrelerinde, dirençler, kapasitörler ve hava nüveli (çekirdekli) bobinler genellikle lineer ve iki yönlü elemanlardır. Bu elemanlar aynı zamanda pasif olup yükseltme ya da doğrultma yapmazlar.Yarı iletken diyot, transistor gibi elemanlar, genellikle lineer değildir ve bir yönlüdür.

Örnek :

Aşağıdaki elektrik devresinde, kol akımlarını ve A_AB gerilimlerini Süperpozisyon yöntemi ile bulunuz.

Çözüm :

Yukarıdaki şekildeki devreyi önce 132 V. luk  kaynağın beslediği kabul edilir. 66 V. luk kaynak devreden çıkarılarak, açılan uçlar, kısa devre edilir. Böylece elde edilen  şekil b deki devre de I₁‘, I₂‘, I₃‘ akımları hesaplanır. Kaynağın verdiği akım,

Böylece her bir kaynağın devreyi ayrı ayrı beslemesi halinde, kollardan geçirecekleri akımlar bulundu. Şimdi her iki batarya devrede bulunduğuna göre kol akımları,

I₁ = I₁‘ – I₁” = 12 – 4 = 8 A.

I₂ = I₂” – I₂” = 10 – 8  = 2 A

I₃ = I₃‘ +  I₃” = 4 + 6 = 10 A.

olur. Sonucun doğruluğunu kontrol için A noktasına Kirşofun akımlar kanunu uygulanırsa,

I_a = I₁ + I₂ = 8 + 2 = 10 A.

Olarak bu kanunun sağlandığı görülür. U_AB gerilimi ise,

U_AB = 6 . I₃ = 6 . 10 = 60 V.

bulunur.

Örnek : A-B uçları arasındaki akım değerini ve yönünü bulalım.

İlk olarak devremizde sadece 50V luk kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I1 = 1,66 A buluruz.

Daha sonra devremizde sadece 1A değerindeki kaynağı bırakalım ve diğer kaynakları devre dışı bırakalım. Devremiz şimdi şu hale geliyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I2 = 0,33 A buluruz.

Ardından devremizde sadece 20V luk kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I3 = -1,33 A buluruz. (-) işaretin anlamı gösterdiğimiz yönün tersi yönünde akım aktığıdır.

Son olarak devremizde sadece 2A lik kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I4 = 1,33 A buluruz.

En son olarak bulduğumuz bu akım değerlerini topluy0ruz:

I = I1 + I2 + I3 + I4

I = 1,66 + 0,33 – 1,33 + 1,33

I = 1,99 A değerini buluruz.

Aslında sonuç 2A çıkacaktır fakat küsüratları tam olarak hesaba katmadığımız için çok küçük bir fark oluştu.

Tüm kaynakları devre dışı edip, A-B uçları arasındaki direncide devreden çıkartıp, A-B uçları arasındaki toplam dirençte bulunarak bu devre istenilirse eş değer gerilim veya eş değer akım devresine dönüştürülebilir.