Trigonometri

TRİGONOMETRİ NEDİR? NE İŞE YARAR?

Trigonometri kelimesi Yunanca trigōnon (üçgen) ve metron (ölçmek) kelimelerinin birleşmesiyle oluşmuştur. Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen bir matematik dalıdır. Trigonometri günümüzde ekonomi, fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır. Tabi kullanım alanları bununla sınırlı değildir. Mesela tarayıcı oyunu yaparken trigonometriye ihtiyaç duyabilirsiniz.
DİK ÜÇGENDEKİ ORANLAR Dik üçgende 90 derece dışındaki diğer açılardan birini seçelim. Örneğin resimde A açısı seçilmiştir. Trigonometrik oranları yazarken resimdeki gibi bir isimlendirme kullanacağız. 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs, seçtiğimiz açının karşısındaki kenara karşı kenar, geriye kalan ve açının bir kolu olan kenara ise komşu kenar diyeceğiz. İsimlendirme işinde de anlaştığımıza göre gelelim bu kenarları oranlamaya.

# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.
# Bir dar açının tanjantı ile kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir.

1 TRİGONOMETRİ

I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

A. AÇI

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.

B. YÖNLÜ AÇI

Bir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.
Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır.
Kural
Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır.
Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.
Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

C. YÖNLÜ YAYLAR

O merkezli çemberde ile bu açının iç bölgesindeki noktaların kümesinin O merkezli çemberle kesişimi AB yayıdır. AB yayı, biçiminde gösterilir.
nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır. şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan, da pozitif yönlüdür.
Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B ye yayın bitim noktası denir.

D. BİRİM ÇEMBER

Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.
Birim çemberin denklemi:
x² + y² = 1 dir.

E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.
Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar; derece ve radyandır.
1. Derece
Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.
2. Radyan
Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
Uyarı
Birim çemberin çevresi 360° veya 2p radyan olduğu için, 360° = 2p radyan dır.
Kural
Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

F. ESAS ÖLÇÜ

olmak üzere, birim çember üzerinde a açısı ile
a + k × 360° açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna göre,
olmak üzere, ölçüsü
a + k × 360°
olan açının esas ölçüsü a derecedir.
Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°) aralığındadır.
Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.
Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360° ye bölünür; kalan 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.
Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.
Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den çıkarılır.
nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.
a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise
nin esas ölçüsü dir.

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. KOSİNÜS FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının kosinüsü denir. Bir A açısının kosinüsü “cos A” şeklinde gösterilir.

Bir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olmak üzere, P noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.

x = cosa dır.
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,
–1 £ cosa £ 1 dir.

B. SİNÜS FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü denir. Bir A açısının sinüsü “sin A” şeklinde gösterilir.

Bir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. P noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.

y = sina
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,
–1 £ sina £ 1 dir.
Sonuç
şekilde,
A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.
B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.
C(–1, 0) olduğundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 dır.
D(0, –1) olduğundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.
Kural
x = cosa, y = sina
|OK| = sina ve
|OH| = cosa olduğuna göre, OHP dik üçgeninde;
|OH|² + |PH|² = 1²
cos²a + sin²a = 1 dir.

C. TANJANT FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir. Bir A açısının tanjantı “tan A” şeklinde gösterilir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. [OP nın x = 1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının tanjantı denir ve tana ile gösterilir.
x = 1 doğrusuna tanjant ekseni denir.

t = tana dır.

D. KOTANJANT FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjantı denir. Bir A açısının kontanjantı “cot A” şeklinde gösterilir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. [OP nın y = 1 doğrusunu kestiği K noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kotanjantı denir ve cota ile gösterilir.
y = 1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.

c = cota
Sonuç
(T.sız: Tanımsız)

Koordinat Sisteminde, Birim Çemberdeki Dört Bölgeye Göre Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlarının ışaretleri

Kural

Uyarı
cosa nın işaretinin sina nın işaretine bölümü cota nın işaretini; sina nın işaretinin cosa nın işaretine bölümü tana nın işaretini verir.
4 bölgede de tana ile cota nın işareti aynıdır.

E. KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONU

Birim çember üzerinde olmak üzere,
P noktasındaki teğetin y eksenini kestiği noktanın ordinatına, a reel (gerçel) sayısının kosekantı denir ve csca ile ya dacoseca gösterilir.
P noktasındaki teğetin x eksenini kestiği noktanın apsisine, a reel (gerçel) sayısının sekantı denir ve seca ile gösterilir.

c = coseca
s = seca
Kural

Sonuç
cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.
1 + tan²x = sec²x
1 + cot²x = cosec²x

F. DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

BCA dik üçgeninde, aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

Sonuç
Ölçüleri toplamı 90° olan (tümler) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına; birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir. Buna göre,

Bazı dar açıların trigonometrik değerleri aşağıda verilmiştir. Bu değerlerin çok iyi bilinmesi soruları daha hızlı çözmenizi sağlar.

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı aynı olur.
Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı farklı olur. Bu farklılık, sinüs için kosinüs, kosinüs için sinüs, tanjant için kotanjant, kotanjant için de tanjanttır.
Kural

I. PERİYODİK FONKSİYONLAR

f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.
f : A ® B
Her x Î A için f(x + T) = f(x)
olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T ¹ 0 reel sayısına f nin periyodudenir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.
f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere,
f(x) in periyodu k × T dir.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI

olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.
sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu kp dir.
sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için) 2p; tanx ve cotx fonksiyonlarının esas periyodu p dir.
strong>Kural
a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,
f(x) = a + b × sin^m(cx + d)
g(x) = a + b × cos^m(cx + d)
fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.
Bu durumda,

olur.
Kural
a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,
f(x) = a + b × tan^m(cx + d)
g(x) = a + b × cot^m(cx + d)
fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.
Bu durumda,

Kural

fonksiyonlarının esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşittir.
Uyarı

Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.
Uyarı
f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir.
Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı biçiminde yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır.
Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,
1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.
2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.
3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa sembolünü yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa sembolünü yazarız.
4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı unutulmamalıdır.

A. SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

B. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

Sonuç
fonksiyonu bire bir ve
örtendir.
fonksiyonu bire bir ve
örtendir.

C. TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

D. KOTANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

Sonuç
fonksiyonu bire bir ve
örtendir.
fonksiyonu bire bir ve örtendir.

III. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. ARKSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.
Bu durumda,

fonksiyonunun tersi,
f^–1(x) = sin^–1x veya f^–1(x) = arcsinx
şeklinde gösterilir ve

B. ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı
[0, p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,
f : [0, p] ® [–1, 1]
f(x) = cosx
fonksiyonunun tersi,
f^–1(x) = cos^–1x veya f^–1(x) = arccosx
şeklinde gösterilir ve
arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.

C. ARKTANJANT FONKSİYONU

f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı
alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.
Bu durumda,

fonksiyonunun tersi,
f^–1(x) = tan^–1x veya f^–1(x) = arctanx
şeklinde gösterilir ve

D. ARKKOTANJANT FONKSİYONU

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,

şeklinde gösterilir.
Sonuç
sin(arcsinx) = x tir.
cos(arccosx) = x tir.
tan(arctanx) = x tir.

cot(arccotx) = x tir.
Sonuç
q = arcsinx ise, x = sinq dır.
q = arccosx ise, x = cosq dır.
q = arctanx ise, x = tanq dır.
q = arccotx ise, x = cotq dır.

IV. ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAğINTILAR

A. SİNÜS TEOREMİ

Kural
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,

B. KOSİNÜS TEOREMİ

Kural
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

a² = b² + c² – 2 × b × c × cosA dır.
b² = a² + c² – 2 × a × c × cosB dir.
c² = a² + b² – 2 × a × b × cosC dir.

C. ÜÇGENİN ALANI

Sonuç
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

I. İKİ YAY TOPLAMININ veya FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

Kural

Uyarı

Kural
olmak üzere, a × sinx + b × cosx in alabileceği;
en büyük değer
en küçük değer dir.

II. YARIM AÇI FORMÜLLERİ

Kural

III. DÖNÜŞÜM ve TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

A. DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleridenir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.
Kural

Uyarı

B. TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşümformülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.
Kural

TRİGONOMETRİ 4

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

ıçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.

A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

olmak üzere,
C noktasına a + k × 2p ve
D noktasına –a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.
Bu durumda, cosx = a nın çözüm kümesi,

olur.
Sonuç
cosx = cosa biçimindeki denklemlerin çözüm kümesi:

dir.

B. sinx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

olmak üzere,
C noktasına a + k × 2p ve
D noktasına p – a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.
Bu durumda,
sinx = a nın çözüm kümesi,

olur.

C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

olmak üzere,
C noktasına a + k × 2p ve
E noktasına
p + a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.
Her iki açının da tanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.
Tanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan tanx = a nın çözüm kümesi,

D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

olmak üzere,
C noktasına,
a + k × 2p ve
E noktasına,
p + a + k × 2p
reel sayısı karşılık gelir.
Her iki açının da kotanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan cotx = a nın çözüm kümesi,

Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine, … , –1, 0, 1, … tam sayıları yazılarak kökler bulunur. Bu köklerden verilen aralıkta olanları alınır.

ÖZEL DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR

30 – 60 – 90 ÜÇGENİ

Eşkenar üçgende bir kenara ait yükseklik çizilirse oluşan iki dik üçgenin de açıları 30° – 60° – 90° olur. Bu eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğunu 2a kabul edersek, oluşan dik üçgenlerde 30 derecelik açının karşısı a olur çünkü yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Yüksekliğin uzunluğunu da Pisagor Bağıntısından bulabiliriz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz. Buradan şu sonuçlara da varabiliriz. 30-60-90 üçgeninde: # Hipotenüsün uzunluğu 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katıdır. # 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 3 katıdır.

45- 45 – 90 ÜÇGENİ

İkizkenar bir dik üçgenin açıları 45° – 45° – 90° ‘dir. Bu ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunu a kabul edersek hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Bağıntısından a2 buluruz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz. Buradan şu sonuca da varabiliriz. 45-45-90 üçgeninde: # Hipotenüsün uzunluğu diğer kenarların uzunluğunun 2 katıdır.

Trigonometrik değerler – trigonometri tablosu

30° – 45° – 60° AÇILARININ TRİGONOMETRİK ORAN TABLOSU

Tümler açılar için sinüs – kosinüs ve tanjant – kotanjant değerlerinin birbirine eşit olduğu tabloda görülebilir.

Trigonometrik değerler tablosu kullanılırken trigonometri bilgisine ihtiyaç vardır.  45 derecelik açıdan sonra trigonometrik değerlerden sinüs ve cosinüs fonksiyonları ile tanjant ve kotanjant fonksiyonları aldıkları değerler arasında bir ilişki oluşmaktadır. Birbirini 90 dereceye tamamlayan iki açının sinüs ve cosinüs değerleri birbirine eşittir. Aynı şekilde birbirini 90 dereceye tamamlayan açıların tanjant ve kotanjant değerleri de birbirine eşittir. Örnek olarak sin 40=cos50 veya tan20=cot70 diyebiliriz. Aynı şekilde sin 75=cos15 veya tan48=cot42 olur. Bunu yukarıdaki tablo üzerinden de görebilirsiniz. 90 dereceden büyük olan açılar ise dar açıya dönüştürülerek trigonometri cetvelinden değeri bulunur.