Üslü Sayılar

Güncelleme 19/09/2024

Üslü sayılar nedir?

Üslü sayılar, bir sayının kendisi ile çarpımlarının kısa şekilde gösterilmesidir.
a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere, aⁿ ifadesine üslü ifade denir.
aⁿ
k . aⁿ ifadesinde k ya kat sayı, a’ya taban n’ye üs denir.
” aⁿ ” ifadesi “a üssü n” veya “a’nın n. kuvveti” diye okunur.
Not: 1’den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken, Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.
Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.
Yukarıdaki ifade de eğer n pozitif bir tam sayı ise bu a‘nın yan yana n kere çarpılacağı anlamına gelir.
aⁿ = a.a.a.a…….a (n tane a)
2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
(-5)³ = (-5) . (-5) . (-5) = -125
(1/2)⁴ = 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/16

Üslü sayılar örnek

3⁴= 3x3x3x3 = 81
2³= 2x2x2 = 8
5¹= 5×1 = 5
7²= 7×7 = 49

Üslü İfadelerle İlgili Özellikler

1. Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
a⁰= 1 (a ≠ 0 )
2. Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
a¹= a
3. Sıfırın sıfırıncı kuvveti belirsizdir.
0⁰= Belirsiz
4. Bir sayının 1/n. kuvveti o sayının n. dereceden köküne eşittir.

5. Bir sayının negatif kuvvetinin değeri, 1’in bu sayının pozitif kuvvetine bölümüne eşittir.

6. Negatif üslü bir kesirli ifade ters çevrildiğinde üssü pozitif hale gelir.

7. Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.

8. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif olurken çift kuvvetleri ise pozitif olur.

Üslü Sayılarda Toplama

Ortak üslü ifadelerin önündeki katsayılar toplanır ve ortak üslü ifadelerden biri ile çarpılır.

Örnek
5.7³ + 2.7³ + 4.7³ = (5 + 2 + 4).7³ = 11.7³
Örnek
Bir kenarının uzunluğu 2⁷ cm olan karenin çevresini nedir ?
Çevre = 2⁷ + 2⁷ + 2⁷ + 2⁷
4 tane 2⁷ sayısını topladığı için bunu kısaca 4.2⁷ şeklinde yazabiliriz.
4.2⁷ = 2².2⁷ = 2⁹ cm

Üslü Sayılarda Çıkarma

Ortak üslü ifadelerin önündeki katsayılar birbirlerinden çıkarılır ve ortak üslü ifadelerden biri ile çarpılır.

Örnek
9.4² – 6.4² = (9 – 6).4² = 3.4²
Örnek
5.3¹⁵ − 2.3¹⁵ = ?
Hem tabanlar hem üsler aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır.
(5−2).3¹⁵ = 3.3¹⁵ = 3¹⁶
Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü ifadelerde toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılırken üsler eşitlenir ve daha sonra katsayılar arasında işlem yapılır.
Örnek
3¹⁴ + 3¹³ − 3¹² = ?
Üsler en düşük olan üsse göre eşitlenebilir.
3² . 3¹² = 3¹⁴ olduğu için biz 3¹⁴ yerine bu ifadeyi yazabiliriz. Benzer durum 3¹³ için de geçerli. Buna göre:
3¹⁴ + 3¹³ − 3¹² ifadesini şu şekilde düzenler ve işlem yaparız:
= 3².3¹² + 3¹.3¹² − 3¹²
= 9.3¹² + 3.3¹² − 1.3¹²
= (9+3−1).3¹² = 11.3¹² 

Üslü Sayılarda Çarpma

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Üslü Sayılarda Bölme

Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme işlemi yapılırken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Üsleri aynı olan üslü ifadelerde bölme işlemi yapılırken tabanlar bölünür ve ortak üs aynen yazılır.

Bütün Reel Sayılar Üslü Bir Sayı Şeklinde Yazılabilir

Bütün reel (gerçel) sayılar üslü bir sayı şeklinde ifade edebilir. Bunun için gerekli olan şey bir taban belirlemektir.
Örneğin, 20 sayısını 3 tabanına göre üslü sayı şeklinde yazalım.
Üssün değerini bilmediğimiz için x olarak ifade edelim.
3ˣ = 20
log3ˣ = log20
xlog3 = log20
x = log20/log3
x = 1.30102999566/0.47712125472
x = 2.72683302785 ≈ 2.73 olur.

Üslü Sayıların Grafikleri

2ˣ, 3ˣ ve 4ˣ Üstel fonksiyonlarının grafikleri

Sonuç : Üslü Sayılar İşlem Kuralları

• Tabanı ve üssü aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
• Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında üsler toplanır.
• Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, paydanın üssü payın üssünden çıkarılır.
• Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
• Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
• Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
• Paydaki bir üslü ifade paydaya, paydadaki bir üslü ifade de paya, ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek (pozitif ise negatif, negatif ise pozitif) geçirilebilir.

Sonuç : Üslü Sayılar Özellikleri

• 1 sayısının tüm kuvvetleri 1’e eşittir.
• 0 dışındaki tüm sayıların 0. kuvveti 1’dir.
• 0’ın negatif kuvvetleri tanımsızdır.
• 0’ın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir.
• Bir sayının 1. kuvveti, sayının kendisidir.
• Taban ve üs 0 ise o işlem belirsizdir.
• Pozitif sayıların pozitif kuvvetleri daima pozitif bir sayı verir.
• Negatif sayılar parantez içinde ve kuvvetleri çift sayı ise sonuç pozitif olur, kuvvetleri tek sayı ise sonuç negatif olur.
• Tabanları aynı iki üslü sayının çarpımı, taban üzeri kuvvetlerin toplamıdır.
• Tabanları aynı iki üslü sayının bölümü taban üzeri kuvvetlerin farkıdır.
• Üslü bir sayının üssü alınırken, içteki kuvvet ile dıştaki kuvvet çarpılır.
• Üsler ortak parantezde dağılma özelliğine sahiptir.