Standart Sapma Nedir ?

Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır.
Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük olması ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir.

Standart sapma nedir?

Veri değerlerinin yayılımının özetlenmesi için bir serideki sayıların o serinin ortalaması etrafındaki dağılımlarını kullanan bir ölçüdür.

Standart Sapma Formülü

S = Standart Sapma
∑ = Toplamı
X = Her değer
x̅ = Örnek ortalaması
n = örnekteki değerlerin sayısı.

Standart Sapmanın Özellikleri

Standart sapma sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır. Standart sapma değerinin negatif olması mümkün değildir.
Standart sapma değeri grupta yer alan uç değerlerden oldukça fazla etkilenir. Standart sapmanın olması gerekene olan yakınlığı ve uzaklığı uç noktaların uzaklığı ile doğrudan ilişkilidir.
Standart sapmanın ölçü birimi grubun ölçü birimi ile aynı olmalıdır. Örneğin km cinsinden uzaklık belirten bir grup değişkenin standart sapması hesaplanırken standart sapmanın da ölçü birimi mutlaka km olmalıdır.
Standart sapma kavramı standart hata kavramından farklıdır. Standart hata ölçümleri yapılmasının amacı parametre tahmincisinin standart sapmasını bulmaktır. Oysa ki standart sapma doğrudan gruptaki değişkenlerin standart sapmasını ifade eder.
Standart sapma sadece parametrik testler bünyesinde yapılabilir. İstatistiksel programlardan faydalanırken normal dağılıma sahip olmayan gruplar üzerinde standart sapma hesaplaması yapılamaz.
Standart sapma değeri artış gösterdikçe güven aralığı genişler. Bu genişleme beraberinde mevcut parametreye dair belirsizlikleri de arttırmaktır.
Standart sapma yalnızca sayısal değerler için hesaplanabilir. Kategorik değerler için standart sapma hesaplamak mümkün değildir.
Standart sapma 0 ise bütün değerler aynı demektir.

Standart Sapma Ne İşe Yarar ?

Standart sapma istatiksel analizler için tanımlayıcı analiz ölçüleri arasında yer alan bir ölçüm aracıdır. Bununla birlikte standart sapma sadece sayısal veriler için kullanılabilir. Sayısal olmayan veriler için standart sapmadan faydalanmak da mümkün değildir. Standart sapma bulma işlemini yapmanın ise birçok farklı nedeni olabilir. Varyans analizi, tekrarlı ölçüm analizi gibi Güven aralığı tespit etmekten tutun da mevcut gruba dair tanımlayıcı analizler yapmaya kadar kullanım seçenekleri mevcuttur.

Standart Sapma Neyi Gösterir ?

Standart sapma temel işlevinin yanı sıra güven aralığı hesaplamak için de kullanılır. Güven aralığının genişlemesi beraberinde standart sapmanın da yükseldiği anlamına gelir. Tersi durumda ise standart sapma değerinin düşmesi beraberinde güven aralığının daralmasını sağlayacaktır. Böylece mevcut olan belirsizlik de azalacaktır. Güven aralığı ne kadar genişlerse belirsizlik de o kadar artar.
Standart sapmanın büyümesi verilerin ortalamadan uzaklaşmasına sebep olur. Tüm değerler aynı ise standart sapma sıfır olacaktır. Bu da tüm değerlerin aritmetik ortalama ile aynı olduğunu da gösterir

Standart Sapma Değeri Nasıl Yorumlanır ?

Standart sapma değeri yorumlanırken güven aralığı ya da diğer test unsurları üzerinden değerlendirme yapılabilir. Standart sapmanın aritmetik ortalamaya göre konumu temel değerlendirmeyi ortaya koyar.Standart sapma aritmetik ortalamaya ne kadar yakınsa homojenlik o kadar artar. Aynı zamanda güven aralığı da daralacağından belirsizlik azalır. Standart sapmanın aritmetik ortalamadan uzak olması değerlerin dağınık bir dağılım seyrettiğini de gösterir. Standart sapmanın aritmetik ortalamadan uzak olması beraberinde güven aralığının genişlemesine, alt ve üst değerlerin aritmetik ortalamadan uzaklaşmasına da işarettir. Bu durumda belirsizlik artacaktır.

Varyans nedir?

Bir serideki değerlerin ortalamaya göre değişimini gösteren bir ölçüdür.
Veri setindeki bütün sayılardan aritmetik ortalama çıkarılır. Sonra sonucun karesi alınır

Standart Sapma Hesaplama Neden Önemli ?

Standart Sapma Hesaplama bize sadece ortalama değerin ötesinde bir bilgi sunar. Bir veri setinin ortalaması aynı olsa bile, standart sapmaları farklı olabilir. Örneğin, iki farklı ürünün ortalama satışları aynı olabilir, ancak birinin standart sapması çok yüksekse, bu o ürünün satışlarının çok tutarsız olduğunu, bazı aylarda çok yüksek, bazı aylarda çok düşük olduğunu gösterir. Diğer ürünün standart sapması düşükse, satışlarının daha istikrarlı olduğunu anlarız. Bu bilgi, karar verme süreçlerinde hayati rol oynar.
Standart sapma, özellikle aşağıdaki alanlarda kritik öneme sahiptir:
Risk Yönetimi: Finans sektöründe hisse senedi getirilerinin oynaklığını ölçmek için kullanılır. Yüksek standart sapma, yüksek risk anlamına gelir.
Kalite Kontrolü: Üretim süreçlerinde ürün boyutlarının, ağırlıklarının veya diğer özelliklerinin tutarlılığını değerlendirmede yardımcı olur. Düşük standart sapma, daha yüksek kalite ve tutarlılık demektir.
Bilimsel Araştırmalar: Deney sonuçlarının güvenilirliğini ve tekrarlanabilirliğini değerlendirmede kullanılır. Bir ilacın farklı hastalarda ne kadar tutarlı etki gösterdiğini anlamak gibi.
Hava Durumu Tahminleri: Sıcaklık, yağış gibi verilerin geçmiş yıllara göre ne kadar değişkenlik gösterdiğini analiz etmek için kullanılabilir.

Standart Sapma Hesaplama

Aritmetik ortalamayı bul. (Her bir değerin toplamının değer sayısına bölünmesi ile)
Her veriden aritmetik ortalamayı çıkar.
Sonuçların karelerini alarak topla.
Veri sayısının 1 eksiğine böl.
Elde ettiğin verinin karekökünü al.
Sonuç standart sapma olacaktır.

Standart Sapma Örnek Çözümü

Adım 01: Bilgileri Toplayın
Standart sapmayı hesaplayacak bir veri kümesi toplayın. Veri kümeniz (45, 67, 30, 58, 50) ve örneklem büyüklüğünüz n = 5.
Adım 02: Ortalamayı Bulun
Tüm veri noktalarını toplayarak ve örneklem büyüklüğü n’ye bölerek örnek ortalamasını (ortalama) hesaplayın.

Ortalama örneği x̅ = (45+67+30+58+50)/n = 250/5 = 50

Adım 03: Ortalamadan Farkı Hesaplayın
Her veri noktasından (X) örnek ortalamasını (x̅) çıkarın.
Fark = X – x̅

45, Fark = X – x̅ = 45 – 50 = – 4
67, Fark = X – x̅ = 67 – 50 = 17
30, Fark = X – x̅ = 30 – 50 = – 20
58, Fark = X – x̅ = 58 – 50 = 8
50, Fark = X – x̅ = 50 – 50 = 0

Adım 04: Farkın Karesini Alın
Önceki adımda elde edilen farklılıkların her birinin karesini alın.
Kare Farkı = (X – x̅)²

45, Kare Farkı = (X – x̅)² = (45 – 50)² = (- 4)² = 16
67, Kare Farkı = (X – x̅)² = (67 – 50)² = (17)² = 289
30, Kare Farkı = (X – x̅)² = (30 – 50)² = (- 20)² = 400
58, Kare Farkı = (X – x̅)² = (58 – 50)² = (8)² = 64
50, Kare Farkı = (X – x̅)² = (50 – 50)² = (0)² = 0

Adım 05: Farkın Karesini Toplayın
Tüm kare farklarını bir araya getirin.
∑(Kare Farkı) = ∑[(X – x̅)²]= 16 + 289 + 400 + 64 + 0 = 769
Adım 06: Varyansı hesaplayın
Varyansı elde etmek için, farkların karelerinin toplamını (n – 1) ile bölün.

Varyans (S²) = σ(farkın karesi) / (n – 1) = 769/4 = 192.25

Adım 07: Standart Sapmayı Hesaplayın

Son olarak, varyansın karekökünü kullanarak standart sapmayı hesaplayın.

Standart Sapma (S) = √ Varyans = √ 192.25 = 13.875

Artık örneklere başlayabiliriz

Örnek 1

Veri grubu; 10, 11, 13, 16, 20
Aritmetik ortalama; (10+11+13+16+20) / 5 = 14
Veriler ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur ve her birinin karesi alınır;

14-10 = 4, 4²= 16
14-11 = 3, 3²= 9
14-13 =1, 1²= 1
16-14= 2, 2²= 4
20-14= 6, 6²=36

Elde edilen tüm kare sonuçları toplanır. 16+9+1+4+36= 66
66 sayısından bir çıkararak elde ettiğimiz 65 sayısının karekökünü alalım.
Elde edeceğimiz sonuç yaklaşık 4 olacaktır. Standart sapma yaklaşık 4 olarak bulunmuştur.

Örnek 2

Veri 10, 8, 10, 8, 8, 4
Eleman Sayısı n = 6

Aritmetik ortalama

10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48
48 / 6 = 8

Varyans

10-8 = 2 2² = 4
8-8 = 0 0² = 0
10-8 = 2 2² = 4
8-8 = 0 0² = 0
8-8 = 0 0² = 0
4-8 = -4 (-4)² = 16
Karesi alınan sayıları toplayın.
4+0+4+0+0+16 = 24
Karelerin toplamı n-1’e bölünür
n = 6 n-1 = 5
24/(6-1)= 4,8

Standart Sapma

Standart sapma için varyansın karekökü alınır.
√4,8 = 2,19

Örnek 3

Aritmetik ortalaması 5 olan aşağıdaki veri grubunun standart sapmasını bulunuz.
Veri grubu; 2, 7, 3, 5, 6, 4, 8.

Excel ile Standart sapma hesaplama

Örnek : A1 hücresine 10 veri girin 11 satıra
=STDSAPMA.S(A1:A10)
yazın .

Sonuç:

Standart sapma eksi bir değer alamaz; yani standart sapma daima sıfır ya da sıfırdan büyük bir değer alır.
Eğer standart sapma sıfır çıkmışsa, bilin ki tüm gözlemlerimiz birebir aynı değere sahiptir.
Standart sapma aykırı veya uç değerlerden aşırı ölçüde etkilenir.
Verilerimizde sayısal olarak aşırı düşük ya da aşırı büyük bir gözlem varsa, standart sapma da olması gerekenden uzaklaşır. Kısacası, standart sapma aritmetik ortalama duyarlı olduğu için, aykırılıklara karşı aşırı duyarlıdır.
Standart sapma değişkene ait ölçü birimini içerir.
Standart sapma kullandığımız değişkenin ölçü birimi her ne ise (kg, km, cm vs.) kendi içerisinde o birimi de barındırır. Ölçü biriminden bağımsız olan yayılım ölçüsü, varyanstır.
Standart sapma ile standart hata aynı kavram değildir.
Standart sapma bir değişkenin değişkenliğini ölçümlemek için kullanılırken, standart hata ise parametre tahmincisinin değişkenliğini ölçümlemek için kullanılır. Özetle, standart hata parametre tahmincisinin standart sapmasıdır.
Standart sapma istatistik analiz raporlarımızda normal dağılıma uygun veriler için kullanılabilir.
İstatistik teorisi gereğince, normal dağılıma ilişkin parametre tahmincileri üzerinden hesaplanır. Ancak normal dağılıma uygun veriler için kullanılır. İstatistik branşında olmayan araştırmacıların ısrarla istatistiksel analiz raporlarında olmasında ısrar ettiği bu değişkenlik ölçüsü, yalnızca parametrik testler kapsamında kullanılır.